2019学年度第二学期末调研测试卷
高一数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内） 1.1.设，，A.
，且
，则（ ） C.
D.
B.
【答案】D 【解析】 当当当∵函数∴当
时，选项A错误；
时，选项B错误； 时，选项C错误； 在上单调递增， 时，
．
本题选择D选项.
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
2. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（ ）
A. 白色 B. 黑色
C. 白色可能性大 D. 黑色可能性大 【答案】A 【解析】
由图可知，珠子出现的规律是3白2黑、3白2黑依次进行下去的特点，据此可知白、黑珠子的出现以5为周期，又
……1，故第36颗珠子应该是白色的，故选A．
3.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )
1
....
A. 对立事件 B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 【答案】C 【解析】
甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．选C. 4.4.在
中，
，
，
，则
解的情况（ ）
A. 无解 B. 有唯一解 C. 有两解 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】
根据正弦定理，结合题中数据解出
，从而
，再由
，由此可得满足条件的
，得出 有且只有一个.
【详解】
中，根据正弦定理，得
，得
由
，得
，
，
， ，从而得到
，
因此，满足条件的有且只有一个，故选B.
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5.5.一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间
内的概率为
2
....
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】
根据茎叶图个原始数据落在区间
内的个数，由古典概型的概率公式可得结论.
内的共有6个，
【详解】由茎叶图个原始数据，数出落在区间包括2个
个
个，2个30，
内的概率为
，故选D.
所以数据落在区间
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式6.6.设A.
B.
， C.
，则（ ） D.
求得概率.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用“作差法”，只需证明【详解】
，
3
即可得结果. ，
....
， ，
恒成立， ，
即
，故选C.
【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法. 7.7.已知，
，
是一个等比数列的前三项，则的值为（ ）
A. -4或-1 B. -4 C. -1 D. 4或1 【答案】B 【解析】 【分析】 由【详解】
，
整理，得解得当
或时，，
当
时，，故选B.
【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等比中项的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及函数与方程思想的应用，属于简单题.
8.8.某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行(其中为座位号)，并以输出的值作为下一轮输入的值.若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）
分别为
，能构成一个等比数列，
，
分别为
，构不成一个等比数列，
，
是一个等比数列的连续三项，利用等比中项的性质列方程即可求出的值.
是一个等比数列的连续三项，
4
....
A. 8 B. 15 C. 20 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知的程序框图，可知该程序的功能是利用条件结构，计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得结论. 【详解】输入输入输入
后，满足进条件，则输出
；
,输出
， ；
，满足条件，则输出，不满足条件，
故第三次输出的值为，故选A.
【点睛】本题主要考查程序框图应用，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
9.9.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1-160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第15组中抽出的号码为118，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】
设第一组抽出的号码为，则第组抽出的号码应为【详解】因为从160名学生中抽取容量为20的样本 所以系统抽样的组数为，间隔为，
5
，由第15组中抽出的号码为118，列方程可得结果.
....
设第一组抽出的号码为， 则由系统抽样的法则， 可知第组抽出的号码应为第组应抽出号码为
， ，得
，故选B.
【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答. 10.10.具有线性相关关系的变量（ ）
A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 由表中数据得：
，得
，根据最小二乘法，将
，故选A.
代入回归方程
0 1 1 2 3 8 ，满足一组数据如表所示，若与的回归直线方程为
，则的值是
11.11.若关于、的不等式组A.
B.
C.
表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( ) D.
或
【答案】C 【解析】
分析：先画出不等式组详解：画出不等式组由
解得
，
表示的平面区域，再根据条件确定的取值范围． 表示的平面区域如图阴影部分所示．
∴点A的坐标为（2,7）．
6
....
结合图形可得，若不等式组 故选C．
表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足．
点睛：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，由不等式组表示的平面图形的形状求参数的取值范围时，可先画出不含参数的不等式组表示的平面区域，再根据题意及原不等式组表示的区域的形状确定参数的取值范围． 12.12.公比不为1的等比数列
的前项和为，且
，
，成等差数列，若
，则
（ ）
A. -5 B. 0 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】
设公比为，运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式即可得结果. 【详解】设由可得若解得则
，可得
舍去），
，故选A.
的公比为， 成等差数列，
，
，
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的求和公式以及等差中项的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上）
7
....
13.13.二次函数的部分对应值如下表：
0 0 1 2 3 0 4 6 x 6 y
则不等式【答案】【解析】
的解集为 ；
试题分析：两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。 考点：主要考查一元二次不等式的概念及解法。 点评：基本题型，一元二次方程的根为“变号零点”。
14.14.右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________.
【答案】9. 【解析】
分析：计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积. 详解：边长为4的正方形二维码面积为则
，解得
.
，设图中黑色部分的面积为S，
据此估计黑色部分的面积为9. 故答案为：9.
点睛：本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用计算问题，是基础题. 15.15.若数列【答案】24 【解析】 【分析】
8
的前项和为，则的值为__________．
....
由，根据求出的前项和为
， ，
的值，从而可得结果.
，
【详解】因为数列所以
，故答案为.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式
，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推
关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意16.16.已知【答案】【解析】 【分析】 化简【详解】
，
，
当且仅当函数故答案为
，即
的最小值为
.
,
时取等号，
，利用基本不等式可得结果.
，求
的最小值__________．
的情况.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.17.渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以偏东
海里/时的速度向正北方向航行，该船在点处时发现在北
方向上，若该船向正
9
方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达点，此时发现该小岛在北偏东
....
北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？
【答案】该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里. 【解析】 【分析】 先求出
，利用
为等腰三角形，可得
，由直角三角形的性质可得结果.
，
【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示，过作
由题意得：∵∴则在∵∴
，，
为等腰三角形，所以中，
，
，
(海里)
.
则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里.
【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及三角函数的应用，属于简单题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
18.18.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率；
（Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率. 【答案】(1);(2). 【解析】
10
....
【分析】
（Ⅰ）设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，利用互斥事件以及独立事件的概率公式求解即可；Ⅱ）由
，即可的结果.
【详解】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是互斥事件. 由条件可得
，
，
，结合
，可得
，利用
（Ⅰ）由对立事件的概率公式知
，
所以任取一张，中一等奖的概率为； （Ⅱ）∵∴又
，而，
，∴
所以任取一张，中三等奖的概率为.
【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件的概率，属于简单题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 19.19.已知等差数列（Ⅰ）求及； （Ⅱ）令
，求证：数列
为等差数列
的前项和为，且
，
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列
中，
，
列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而
，则
，所以，数列
为等
可求得及；（2）利用（1）求出差数列.
11
....
【详解】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为， 由题意有解得则
，
，
，
（Ⅱ）因为又所以，数列
，
为等差数列.
，
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量刃而解.
20.20.某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示， 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计
（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据，并完成下列频率分布直方图；
分组 频数 5 30 20 10 频率 0.050 0.350 0.200 0.100 1.00 一般可“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎
12
....
（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行不同项目的体能测试，若在这6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，则第4组中至少有一名学生被抽中的概率. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据表格中数据，求出第1组第2组，第3组的频数，从而可得直方图的纵坐标，进而可得结果；（Ⅱ利用分层抽样，可得第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人，利用列举法可得从6位同学中抽两位同学的可能共有15种，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有9种，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题可知，第1组：第2组的频数为第3组的频数为
.
人，
，得
即①处的数据为35，②处的数据为0.300.
（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为： 第3组：第4组：
人； 人；
13
....
第5组：人.
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. 设第3组的3位同学为
，
，
，第4组的2位同学为，，第5组的1位同学为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则从6位同学中抽两位同学的可能有
，
，
，
共15种；
其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：9种可能.
所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率
，，，，，，，，共
.
【点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先
，
….
，再
，
…..
依次
….
… 这样才能
避免多写、漏写现象的发生. 21.21.在锐角
中,
分别为角
所对的边,且
（1）求角C的大小; （2）若
,且
的面积为
,求a+b的值.
【答案】(1) . (2)5. 【解析】
试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为∴
再由余弦定理可得边c
即可得
，故
（2）∵
，
试题解析： 解：
（1）由正弦定理得∵
是锐角，∴
，故，∴
， .
（2）∵由余弦定理得∴
14
....
点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长
视频
22.22.设函数（Ⅰ）若不等式
对任意
恒成立，求实数的取值范围；
，
且
，求
的最小值.
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设【答案】(1)【解析】 【分析】
（Ⅰ）结合二次函数对称轴位置，先判断可得结果；（Ⅱ）结合（1）可得【详解】（Ⅰ）因为函数所以所以∴
.
，
在;(2)
.
在上单调递减，所以， 从而
，由此可得的对称轴为
，且开口向上，
，展开后，利用基本不等式可得结果.
上单调递减， ，
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得即所以所以∵则
当且仅当所以
，即
，.
，
， . .
时，等号成立.
的最小值为
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一
15
....
正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
16
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