2.2.2对数函数及其性质教案

隆湖中学教师 李江华

教学目标

（一） 教学知识点 1． 对数函数的概念；

2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求

1． 理解对数函数的概念；

2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

abNlogaNb

2、 ya(a0且a1)的图象和性质． 图 象 a＞1 x0＜a＜1 0 0 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个

数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2表示．

x第 1 页 共 12 页

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是xlog2y.

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是ylog2x. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，定义域为(0,)．

学生思考问题：为什么对数函数概念中规定a0,a1?

例1． 求下列函数的定义域：

2（1）ylogax； （2）yloga(4x)； (3) ylog71x1分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域（0，+∞）求解．

22解：（1）由x>0得x0,∴函数ylogax的定义域是x|x0；

（2）由4x0得x4，∴函数yloga(4x)的定义域是x|x4； （3）由x-1>0得x>1，

1 ylog7∴函数 x1的定义域是1,．

2．对数函数的图象：

通过列表、描点、连线作ylog2x与ylog1x的图象：

2

110101思考：ylog2x与ylog1x的图象有什么关系？

23，（1）根据对称性（关于x轴对称）已知y=log3x的图像，你能画出y=log1x的图像吗？

3

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（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象

的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.

（1） ylog2x （2） ylog1x

2（3） ylog3x （4） ylog1x

3

4．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

a＞1 0＜a＜1 图 象 110101 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x=1时，y=0 性 质 x(0,1)时 y0 x(1,)时 y0 在（0，+∞）上是增函数 x(0,1)时 y0 x(1,)时y0 在（0，+∞）上是减函数 三、讲解范例：

例2．比较下列各组数中两个值的大小：

⑴log23.4,log28.5； ⑵log0.31.8,log0.32.7； ⑶loga5.1,loga5.9(a0,a1)． 解：⑴考查对数函数ylog2x，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4log28.5．

⑵考查对数函数ylog0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函

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数，于是log0.31.8log0.32.7．

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当a1时，ylogax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1loga5.9； 当0a1时，ylogax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1loga5.9． 小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

四、练习1。（P73、2）求下列函数的定义域：

（1）y=log3(1-x) (2)y=

11 (3)y=log7

log2x13x(4)ylog3x （5ylog2(164x) （6）ylogx1(3x)

解：（1）由1-x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}；

(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}；

1011(3)由13x,得x ∴所求函数定义域为{x|x＜}；

3313x0x0x0(4)由 ∴x≥1 ∴所求函数定义域为{x|x≥1}. ,得logx0x13练习2、 函数yloga(x1)2(a0,a1)的图象恒过定点（ ）

3、已知函数yloga(x1)(a0,a1)的定义域与值域都是[0，1]， 求a的值。（因时间而定，选讲）

五、课堂小结

⑴对数函数定义、图象、性质；

⑵对数的定义， 指数式与对数式互换； ⑶比较两个数的大小． 六、课后作业：

1．阅读教材第70～72页；

2. 《习案》P191～192面。

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2.2.2 对数函数及其性质（二）

教学目标

1.教学知识点

1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求

4． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；

３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.德育渗透目标

1．用联系的观点分析问题、解决问题； ２．认识事物之间的相互转化．

教学重点

1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．

教学难点

1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．

教学过程

一、 复习引入： 1．对数函数的定义：

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，对数函数ylogax (a0且a1)的定义域为(0,)，值域为(,)．

2、对数函数的性质：

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a＞1 0＜a＜1 图 象 110101 定义域：（0，+∞）． 值域：R． 过点（1，0），即当x1时，y0． 性 质 x(0,1)时 y0． x(1,)时 y0． 在（0，+∞）上是增函数． 3．书P73面练习3

x(0,1)时 y0 ． x(1,)时y0． 在（0，+∞）上是减函数． ③

5． 函数y=x+a与ylogax的图象可能是__________

y 1 o ① 二、新授内容：

例1．比较下列各组中两个值的大小：

⑴log67,log76； ⑵log3,log20.8． （3）60.7y 1 x o 1 ② x 1 y y 1 ③ 1 x o 1 ④ x

1 o ,0.76,log0.76

解：⑴log67log661，log76log771，log67log76．

⑵log3log310，log20.8log210，log3log20.8．

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题）

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⑴log0.30.7log0.40.3； ⑵log3.40.7log0.60.8例2．已知x =

1； ⑶log0.30.1log0.20.1 ． 3129时，不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立， 4求使此不等式成立的x的取值范围. 解：∵x =

99999使原不等式成立. ∴loga[()22]＞loga [1()223) 44444即loga

13391339＞loga. 而＜. 所以y = logax为减函数，故0＜a＜1. 16161616x2x20x1或x2∴原不等式可化为x22x30， 解得1x3.

25xx2x22x31x2故使不等式成立的x的取值范围是(2,5) 2例3．若函数f(x)logax(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，

求a的值。 （a例4．求证：函数f (x) =log2解：设0＜x1＜x2＜1， 则f (x2) – f (x1) = log22） 4x在(0, 1)上是增函数. 1xx2xx(1x1)x1x1log21log22=log22.

x1x1x21x1(1x2)x112∵0＜x1＜x2＜1，∴

x21x1x1x1＞1，＞1. 则log22＞0，

1x2x1x11x2∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数

例5．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1).

（1）求f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明f (x)的单调性.

解：（1）由a＞1，a – ax＞0，而a＞ax，则x＜1. 故f (x)的定义域为(1, +∞)， 而ax＜a，可知0＜a – ax＜a， 又a＞1. 则loga(a – ax)＜lgaa = 1. 取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).

（2）设x1＞x2＞1，又a＞1， ∴ax1＞ax2，∴aax1＜a＜ax2，

∴loga (a –ax1)＜loga (a –ax2)，即f (x1)＜ f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数. 例6．书P72面例9。指导学生看书。

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例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：

2⑴ylog2(x2x5)； ⑵ylog1(x4x5)；

23解：⑴∵x22x5(x1)244对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R． 从而log2(x2x5)log242 即函数值域为[2,)．

⑵要使函数有意义，则须： x4x50x4x501x5，

22 由1x5 ∴在此区间内 (x4x5)max9， ∴ 0x4x59．

222 从而 log1(x4x5)log192 即：值域为y2，

332 ∴定义域为[-1,5]，值域为[2,)．

例8．（备选题）已知f (x) = logax (a＞0，a≠1)，当0＜x1＜x2时， 试比较f(x1x21)与[f(x1)f(x2)]的大小，并利用函数图象给予几何解释. 22【解析】因为f(x1x21xx1)[f(x1)f(x2)]loga12[logax1logax2] 2222x1x2logax1x22x1x2=logax1x2loga2 又0＜x1＜x2，

x1x22x1x2∴x1 + x2 – 2x1x2(x1x2)2＞0， 即x1 + x2＞2x1x2， ∴

x1x22x1x2＞1.

于是当a＞1时，loga＞0. 此时f(x1x21)＞[f(x1)f(x2)] 22同理0＜a＜1时f(x1x21)＜[f(x1)f(x2)] 22或：当a＞1时，此时函数y = logax的图象向上凸.

x1x21)，又A、B两点的中点Q的纵坐标为[ f (x1) + f (x2)]， 22xx1由几何性质可知 f(12)＞[f(x1)f(x2)].

22显然，P点坐标为f(当0＜a＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知logax1x21)＜[f(x1)f(x2)] 22x1x22x1x2＜0，

此时f(

y P(四、课堂小结：

2． 比较对数大小的方法；

· x·(x1, f (x1)) Q ( A · x1 第 8 页 共 12 页

x1x2x1x2 )B 22(x2, f (x2)) · 1x21,[f(x1)f(x2)]) 22x1x22 x2 x

2．对数复合函数单调性的判断；

3．对数复合函数定义域、值域的求法． 五、课后作业 1．《习案》P193与P195面。 备选题

2．讨论函数f(x)log2(x1)在(,0)上的单调性．（减函数） 3.已知函数y=loga(2-a)在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．

解：∵a＞0且a≠1,

当a＞1时， ∴1＜a＜2. 当0x22.2.2对数函数及其性质（三）

教学目标

（一）教学知识点

1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法． （二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数． （三）德育渗透目标

培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．

教学重点

1．反函数的概念； 2．反函数的求法．

教学难点

反函数的概念．

教学过程

一、复习引入：

1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t 0，值域s 0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即ts，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，定义域s 0，v值域t 0．

问题１：函数s=vt的定义域、值域分别是什么？ 问题２：函数ts中，谁是谁的函数？ vs之间有什么关系？ vy3． 这样，对于y在R中任何一个2问题３：函数s=vt与函数t2、又如，在函数y＝2x＋6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR． 我们从函数y＝2x＋6中解出x，就可以得到式子x第 9 页 共 12 页

值，通过式子xy3，x在R中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：2y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR．

3、再如：指数函数yax中，x是自变量，y是x的函数，由指数式与对数式的互化

有：xlogay 对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子xlogay，x在R中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：xlogay，y为自变量，x为y的函数，定义域是y（0，+），值域是xR． 二、讲解新课： 1．反函数的定义

一般地，设函数yf(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y)． 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)

1开始的两个例子：s=vt记为f(t)vt，则它的反函数就可以写为ft(t)，同样

vy2x6记为f(x)2x6，则它的反函数为：f1(x)x3． 2探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数不一定有反函数，如yx2，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，yx2，yf(x)来说，x[0,)有反函数是yx

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系 定义域 值 域 探讨3：yf1函数yf(x) A C 反函数yfC A 1(x) (x)的反函数是什么？

1若函数yf(x)有反函数yf(x)，那么函数yf1(x)的反函数就是yf(x)，

1这就是说，函数yf(x)与yf(x)互为反函数 探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：

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（1）函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 三、讲解例题：

例1．求下列函数的反函数：

①y3x1(xR)； ②yx1(xR).

解：①由y3x1解得x3y1 3x1(xR)， 3∴函数y3x1(xR)的反函数是y②由yx1(xR)解得x=3y1，

3∴函数yx1(xR)的反函数是y3x1(xR) 小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．

例2． 函数yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（1，4），求a的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数

3yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（4，1），

∴1loga3， ∴a3.

【小结】若函数yf(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a). 例3．已知函数yf(x)x1，求f1(3)的值．

x1解得：x(y1)2

1解：方法一：∵x0 ∴y1 由y12 ∴f(x)(x1)(x1)为原函数的反函数， ∴f方法二：由反函数的定义得：3练习1．求下列函数的反函数：

(3)＝4．

1x1， 解得：x＝4， 即f(3)＝4．

（1）y=4(x∈R), (2)y=0.25(x∈R), (3)y=()(x∈R),

x(4)y=(2)(x∈R), (5)y=lgx(x＞0), (6)y=2log4x(x＞0)

xx13x(7)y=loga(2x)(a＞0,且a≠1,x＞0) (8)y=logax (a＞0,a≠1,x＞0) 2解：（1）所求反函数为：y=log4x(x＞0), (2)所求反函数为：y=log0.25x(x＞0)

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(3)所求反函数为：y=log1x (x＞0), (4)所求反函数为：y=log3x2x (x＞0)

(5)所求反函数为：y=10 (x∈R), (6)所求反函数为：y=4=2x (x∈R) (7)所求反函数为:y=

x21xa(a＞0,且a≠1,x∈R) 2x(8)所求反函数为：y=2a(a＞0,且a≠1,x∈R)

练习2．函数y=3的图象与函数ylog3x的图象关于（D ）

A.y轴对称 B. x轴对称 C. 原点对称 D. yx直线对称 （备选题）3．求函数yx5x8的值域．

3x2解：∵y2y85x855 ∴x ∴ y≠ ∴函数的值域为{y|y≠}

3y5333x2（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数

若点1,2既在函数ymxn上,又在其反函数图象上,求m,n.

解：由已知得：mn22mn1，即m3， 故m、n的值分别是－3、7．

n7（备选题）5．已知f(x)x5的图象关于直线yx对称,求m的值．

2xm1解：由已知可知，f(x)的反函数是它的本身，即f(x)f 由f(x)(x)．

x5mx5x5mx51得f(x)恒成立． ,所以2xm2x12xm2x1比较对应系数得m1.

五、课堂小结

1．反函数的定义；求反函数的步骤． 2．互为反函数的函数图象间关系；

3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 六、课外作业：

1. 阅读教材P.73； 2. 《学案》P.88~ P.89.

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