隆湖中学教师 李江华
教学目标
(一) 教学知识点 1. 对数函数的概念;
2. 对数函数的图象与性质. (二) 能力训练要求
1. 理解对数函数的概念;
2. 掌握对数函数的图象、性质; 3. 培养学生数形结合的意识. (三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化; 2.用联系的观点看问题;
3.了解对数函数在生产生活中的简单应用.
教学重点
对数函数的图象、性质.
教学难点
对数函数的图象与指数函数的关系.
教学过程
一、复习引入:
1、指对数互化关系:
abNlogaNb
2、 ya(a0且a1)的图象和性质. 图 象 a>1 x0<a<1 0 0 性 质 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数 3、 我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个
数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2表示.
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现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞,那么,分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是xlog2y.
如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数就是ylog2x. 引出新课--对数函数. 二、新授内容: 1.对数函数的定义:
函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数,定义域为(0,).
学生思考问题:为什么对数函数概念中规定a0,a1?
例1. 求下列函数的定义域:
2(1)ylogax; (2)yloga(4x); (3) ylog71x1分析:此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,+∞)求解.
22解:(1)由x>0得x0,∴函数ylogax的定义域是x|x0;
(2)由4x0得x4,∴函数yloga(4x)的定义域是x|x4; (3)由x-1>0得x>1,
1 ylog7∴函数 x1的定义域是1,.
2.对数函数的图象:
通过列表、描点、连线作ylog2x与ylog1x的图象:
2
110101思考:ylog2x与ylog1x的图象有什么关系?
23,(1)根据对称性(关于x轴对称)已知y=log3x的图像,你能画出y=log1x的图像吗?
3
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(2)在同一坐标系中画出下列对数函数的图象,观察图象,找出各函数图象
的共同特征,分析其不同之处,并归纳其性质.
(1) ylog2x (2) ylog1x
2(3) ylog3x (4) ylog1x
3
4.对数函数的性质
由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质.
a>1 0<a<1 图 象 110101 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即当x=1时,y=0 性 质 x(0,1)时 y0 x(1,)时 y0 在(0,+∞)上是增函数 x(0,1)时 y0 x(1,)时y0 在(0,+∞)上是减函数 三、讲解范例:
例2.比较下列各组数中两个值的大小:
⑴log23.4,log28.5; ⑵log0.31.8,log0.32.7; ⑶loga5.1,loga5.9(a0,a1). 解:⑴考查对数函数ylog2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4log28.5.
⑵考查对数函数ylog0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函
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数,于是log0.31.8log0.32.7.
小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小. ⑶当a1时,ylogax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1loga5.9; 当0a1时,ylogax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1loga5.9. 小结2:分类讨论的思想.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
四、练习1。(P73、2)求下列函数的定义域:
(1)y=log3(1-x) (2)y=
11 (3)y=log7
log2x13x(4)ylog3x (5ylog2(164x) (6)ylogx1(3x)
解:(1)由1-x>0得x<1 ∴所求函数定义域为{x|x<1};
(2)由log2x≠0,得x≠1,又x>0 ∴所求函数定义域为{x|x>0且x≠1};
1011(3)由13x,得x ∴所求函数定义域为{x|x<};
3313x0x0x0(4)由 ∴x≥1 ∴所求函数定义域为{x|x≥1}. ,得logx0x13练习2、 函数yloga(x1)2(a0,a1)的图象恒过定点( )
3、已知函数yloga(x1)(a0,a1)的定义域与值域都是[0,1], 求a的值。(因时间而定,选讲)
五、课堂小结
⑴对数函数定义、图象、性质;
⑵对数的定义, 指数式与对数式互换; ⑶比较两个数的大小. 六、课后作业:
1.阅读教材第70~72页;
2. 《习案》P191~192面。
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2.2.2 对数函数及其性质(二)
教学目标
1.教学知识点
1. 对数函数的单调性;2.同底数对数比较大小;3.不同底数对数比较大小; 4.对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.对数形式的复合函数的单调性. 2.能力训练要求
4. 掌握对数函数的单调性;2.掌握同底数对数比较大小的方法;
3.掌握不同底数对数比较大小的方法;4.掌握对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.掌握对数形式的复合函数的单调性; 6.培养学生的数学应用意识. 3.德育渗透目标
1.用联系的观点分析问题、解决问题; 2.认识事物之间的相互转化.
教学重点
1.利用对数函数单调性比较同底数对数的大小; 2.求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法; 3.求对数形式的复合函数的单调性的方法.
教学难点
1.不同底数的对数比较大小;2.对数形式的复合函数的单调性的讨论.
教学过程
一、 复习引入: 1.对数函数的定义:
函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数,对数函数ylogax (a0且a1)的定义域为(0,),值域为(,).
2、对数函数的性质:
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a>1 0<a<1 图 象 110101 定义域:(0,+∞). 值域:R. 过点(1,0),即当x1时,y0. 性 质 x(0,1)时 y0. x(1,)时 y0. 在(0,+∞)上是增函数. 3.书P73面练习3
x(0,1)时 y0 . x(1,)时y0. 在(0,+∞)上是减函数. ③
5. 函数y=x+a与ylogax的图象可能是__________
y 1 o ① 二、新授内容:
例1.比较下列各组中两个值的大小:
⑴log67,log76; ⑵log3,log20.8. (3)60.7y 1 x o 1 ② x 1 y y 1 ③ 1 x o 1 ④ x
1 o ,0.76,log0.76
解:⑴log67log661,log76log771,log67log76.
⑵log3log310,log20.8log210,log3log20.8.
小结1:引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数的大小. 练习: 1.比较大小(备用题)
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⑴log0.30.7log0.40.3; ⑵log3.40.7log0.60.8例2.已知x =
1; ⑶log0.30.1log0.20.1 . 3129时,不等式 loga (x2 – x – 2)>loga (–x2 +2x + 3)成立, 4求使此不等式成立的x的取值范围. 解:∵x =
99999使原不等式成立. ∴loga[()22]>loga [1()223) 44444即loga
13391339>loga. 而<. 所以y = logax为减函数,故0<a<1. 16161616x2x20x1或x2∴原不等式可化为x22x30, 解得1x3.
25xx2x22x31x2故使不等式成立的x的取值范围是(2,5) 2例3.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,
求a的值。 (a例4.求证:函数f (x) =log2解:设0<x1<x2<1, 则f (x2) – f (x1) = log22) 4x在(0, 1)上是增函数. 1xx2xx(1x1)x1x1log21log22=log22.
x1x1x21x1(1x2)x112∵0<x1<x2<1,∴
x21x1x1x1>1,>1. 则log22>0,
1x2x1x11x2∴f (x2)>f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数
例5.已知f (x) = loga (a – ax) (a>1).
(1)求f (x)的定义域和值域; (2)判证并证明f (x)的单调性.
解:(1)由a>1,a – ax>0,而a>ax,则x<1. 故f (x)的定义域为(1, +∞), 而ax<a,可知0<a – ax<a, 又a>1. 则loga(a – ax)<lgaa = 1. 取f (x)<1,故函数f (x)的值域为(–∞, 1).
(2)设x1>x2>1,又a>1, ∴ax1>ax2,∴aax1<a<ax2,
∴loga (a –ax1)<loga (a –ax2),即f (x1)< f (x2),故f (x)在(1, +∞)上为减函数. 例6.书P72面例9。指导学生看书。
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例7.(备选题) 求下列函数的定义域、值域:
2⑴ylog2(x2x5); ⑵ylog1(x4x5);
23解:⑴∵x22x5(x1)244对一切实数都恒成立, ∴函数定义域为R. 从而log2(x2x5)log242 即函数值域为[2,).
⑵要使函数有意义,则须: x4x50x4x501x5,
22 由1x5 ∴在此区间内 (x4x5)max9, ∴ 0x4x59.
222 从而 log1(x4x5)log192 即:值域为y2,
332 ∴定义域为[-1,5],值域为[2,).
例8.(备选题)已知f (x) = logax (a>0,a≠1),当0<x1<x2时, 试比较f(x1x21)与[f(x1)f(x2)]的大小,并利用函数图象给予几何解释. 22【解析】因为f(x1x21xx1)[f(x1)f(x2)]loga12[logax1logax2] 2222x1x2logax1x22x1x2=logax1x2loga2 又0<x1<x2,
x1x22x1x2∴x1 + x2 – 2x1x2(x1x2)2>0, 即x1 + x2>2x1x2, ∴
x1x22x1x2>1.
于是当a>1时,loga>0. 此时f(x1x21)>[f(x1)f(x2)] 22同理0<a<1时f(x1x21)<[f(x1)f(x2)] 22或:当a>1时,此时函数y = logax的图象向上凸.
x1x21),又A、B两点的中点Q的纵坐标为[ f (x1) + f (x2)], 22xx1由几何性质可知 f(12)>[f(x1)f(x2)].
22显然,P点坐标为f(当0<a<1时,函数图象向下凹. 从几何角度可知logax1x21)<[f(x1)f(x2)] 22x1x22x1x2<0,
此时f(
y P(四、课堂小结:
2. 比较对数大小的方法;
· x·(x1, f (x1)) Q ( A · x1 第 8 页 共 12 页
x1x2x1x2 )B 22(x2, f (x2)) · 1x21,[f(x1)f(x2)]) 22x1x22 x2 x
2.对数复合函数单调性的判断;
3.对数复合函数定义域、值域的求法. 五、课后作业 1.《习案》P193与P195面。 备选题
2.讨论函数f(x)log2(x1)在(,0)上的单调性.(减函数) 3.已知函数y=loga(2-a)在[0,1]上是减函数,求a的取值范围.
解:∵a>0且a≠1,